turunan fungsi

Turunan Fungsi Trigonometri , kumpulan soal beserta pembahasannya

 Turunan fungsi

Turunan fungsi ( diferensial ) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi f menjadi f' yang mempunyai nilai tidak beraturan. Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh Sir Isaac Newton ( 1642 – 1727 ), ahli matematika dan fisika bangsa Inggris dan Gottfried Wilhelm Leibniz ( 1646 – 1716 ), ahli matematika bangsa Jerman. Turunan ( diferensial ) digunakan sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan mekanika.

•   Turunan dasar

Aturan - aturan dalam turunan fungsi adalah:

1  1.      f(x), maka f'(x) = 0

.        2.     Jika f(x) = x, maka f’(x) = 1

.     3.     Aturan pangkat : Jika f(x) = xn, maka f’(x) = n X n – 1

4.   Aturan kelipatan konstanta : (kf) (x) = k. f’(x)

    5.    Aturan rantai : ( f o g ) (x) = f’ (g (x)). g’(x))

•      Turunan jumlah, selisih, hasil kali, dan hasil bagi dua fungsi

Misalkan fungsi f dan g terdiferensialkan pada selang I, maka fungsi f + g, f – g, fg, f/g, ( g (x) ≠ 0 pada I ) terdiferensialkan pada I dengan aturan :

1. ( f + g )’ (x) = f’ (x) + g’ (x)

2. ( f – g )’ (x) = f’ (x) - g’ (x)

3. (fg)’ (x) = f’(x) g(x) + g’(x) f(x)

4. ((f)/g )’ (x) = (g(x) f' (x)- f(x) g' (x))/((g(x)2)

•    Turunan fungsi trigonometri

1. d/dx ( sin x ) = cos x

2. d/dx ( cos x ) = - sin x

3. d/dx ( tan x ) = sec2 x

4. d/dx ( cot x ) = - csc2 x

5. d/dx ( sec x ) = sec x tan x

6. d/dx ( csc x ) = -csc x cot x

§     Turunan fungsi invers

(f-1)(y) = 1/(f' (x)), atau dy/dx 1/(dx/dy)

• Rumus-rumus Turunan Fungsi Matematika

          Untuk memudahkan belajar, berikut rumus hitung rangkumkan berbagai rumus rumus turunan.

A.    Rumus 1 : Jika y = cxn dengan c dan n konstanta real, maka dy/dx = cn xn-1

Contoh :

y = 2 x 4 maka dy/dx = 4.2x4-1 = 8x3

kadang ada soal yang memakai pangkat pecahan atau akar

y =  = 2 x1/2 turunannya adalah  ( = x- =

B.      Rumus 2 : Jika y = c dengan c adalah konstanta maka dy/dx = 0

Contoh Jika y = 6  maka turunannya adalah sama dengan nol (0)

C.         Rumus 3 : Jika y = f(x) + g(x) maka turunannya sama dengan turunan dari masing-masing fungsi = f’(x) + g’(x)

Contoh :

y = x3 + 2 x2 maka y’ = 3 x2 + 4x

y = 2x5 + 6 maka y’ = 10x4 + 0 = 10x4

D.        Rumus 4 : Turunan perkalian Fungsi Jika y f(x).g(x) maka y’ = f’(x).g(x) + g’(x).f(x)

contoh :

y = x2 (x2 + 2) maka

f(x) = x2

f’(x) = 2x

g(x) = x2 + 2

g’(x) = 2x

Kita masukan ke rumus y’ = f’(x).g(x) + g’(x). F(x)

y = 2x (x2 + 2) + 2x.x2

y = 4x3 + 4x

E.        Rumus 5 : Turunan Pembagian Fungsi

Jika y =  maka  =

CONTOH SOAL :

Soal Nomor 1

Turunkan fungsi berikut:

y = 5 sin x

Pembahasan

y = 5 sin x
y' = 5 cos x

Soal Nomor 2
Diberikan fungsi f(x) = 3 cos x
Tentukan nilai dari f ' ( π/2).

Pembahasan

Perhatikan rumus turunan untuk fungsi trigonometri berikut ini:

f(x) = 3 cos x
f '(x) = 3 (−sin x)
f '(x) = −3 sin x

Untuk x = π/2 diperoleh nilai f '(x)
f '(π/2) = −3 sin ( π/2) = −3 (1) = −3

Penggunaan Turunan dalam Kehidupan Sehari-Hari

Topik ini merupakan topik terakhir dari materi turunan. Pada topik ini, kita akan belajar bagaimana memodelkan dan menyelesaikan masalah dalam kehidupan sehari-hari yang melibatkan turunan. Salah satu konsep turunan yang sering digunakan adalah turunan pertama dan nilai maksimum serta minimum fungsi. Konsep turunan pertama fungsi banyak digunakan dalam masalah kecepatan dengan diketahui fungsi posisinya, sedangkan konsep nilai maksimum dan minimum fungsi digunakan dalam masalah luas seperti luas tanah dan bangunan, volume bangun ruang, dan ilmu ekonomi.

Nilai maksimum dan minimum suatu fungsi sering disebut dengan nilai ekstrim. Nilai ekstrim dari fungsi y=f(x) diperoleh untuk x yang memenuhi persamaan f′(x)=0. Jikax=a adalah nilai xyang memenuhi persamaan f′(x)=0, maka (a,f(a)) adalah titik ekstrim fungsi y=f(x) dan f(a)adalah nilai ekstrim fungsi y=f(x).
Jenis nilai ekstrim fungsi dapat ditentukan sebagai berikut.

Nilai ekstrim ini akan merupakan nilai maksimum jika:

f ‘ (x) = 0 dan f “ (x) < 0.

Nilai ekstrim akan merupakan nilai minimum jika:

f ‘(x) = 0 dan f “ (x) > 0.

Contoh 1

Sebuah kembang api diluncurkan ke udara. Ketinggian kembang api h = f (t)

(dalam meter) padat sekon dimodelkan dengan f (t) = 16t2 + 200 t + 4.

Tentukan kecepatan luncur kembang api saat t = 3 sekon.

Penyelesaian:

Diketahui ketinggian kembang api saat t sekon adalah: f (t) = 16t2 + 200 t + 4

Kecepatan luncur kembang api diperoleh turunan pertama dari fungsi

ketinggian (posisi) kembang api sebagai berikut :

f ‘ (t) = 32t+ 200 ⇔f ‘ (3) = 32(3) +200 = 296

Jadi, kecepatan luncur kembang api saat t = 3 sekon adalah 296 m/s