Bilangan real dan himpunan
- Bilangan asli, bilangan cacah, dan bilangan bulat.
- Bilangan rasional dan bilangan irasional.
- Bilangan real : Sifat Medan dan Sifat Urutan.
Bilangan Asli, Bilangan Cacah, dan Bilangan Bulat
Bilangan
asli (natural number) adalah yang paling sederhana di antara yang lain.
Pada waktu kita baru belajar berhitung kita telah mengenal bilangan asli.
Misalnya menghitung banyak telur, banyak buah apel, ataupun banyak jari yang
kita miliki. Barisan bilangan asli adalah
1,2,3,4,5,…
bilangan
asli disebut juga bilangan bulat positif. Himpunan bilangan asli
dinotasikan dengan N
Himpunan
bilangan yang selanjutnya adalah himpunan bilangan cacah. Yaitu
himpunan bilangan asli yang juga disertakan 0
di dalamnya.
Barisan
0,1,2,3,4,5,…
merupakan
barisan bilangan cacah.
Yang
terakhir adalah himpunan bilangan bulat (integers), dilambangkan dengan Z
. Bilangan
bulat terdiri atas bilangan bulat positif, nol, dan bilangan bulat negatif.
Sedikit berbibicara tentang bilangan bulat negatif. Bilangan bulat negatif
biasanya dihubung-hubungkan dengan hutang. Ini mungkin dikarenakan oleh hutang
yang berhawa "negatif" (itu menurut saya sih). Ok kembali,
barisan bilangan bulat adalah
…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…
Sekilas dari
apa yang kita lihat di atas bilangan asli, bilangan cacah, dan bilangan bulat
banyaknya berbeda. Namun fakta yang menarik adalah banyak anggota mereka sama
(what?). Ini dapat dibuktikan dengan membuat fungsi bijektif antara mereka.
Well, kayanya gak dibahas di sini. Bukti akan ditulis pada postingan lain jika
ada kesempatan.
Bilangan Rasional dan Bilangan Irasional
Bilangan
rasional adalah
bilangan yang diperoleh dari perbandingan (rasio) atau hasil bagi dua bilangan
bulat dengan syarat bagian penyebut (pembagi) tidak boleh 0
,
dinotasikan dengan Q (quotient). Yaitu bilangan yang dapat dinyatakan ke dalam bentuk ab dengan a dan b adalah
bilangan bulat dan b≠0. Pendefinisian yang lebih baik adalah dengan
memberikan syarat a dan b relatif prima (memiliki GCD/FPB(Greatest Common Divisor / Faktor
Persekutuan terBesar) bernilai 1
) sehingga
telah berada dalam bentuk paling sederhana. Kita tuliskan ini sebagai
berikut
r adalah
bilangan rasional jika dan hanya jika terdapat bilangan bulat a dan b dengan GCD(a,b) = 1 serta b≠0 sedemikian sehingga
r=ab
Contoh dari
bilangan rasional adalah 12
, 0.3, dan 2. Perhatikan
juga bahwa semua bilangan bulat adalah bilangan rasional dengan bagian penyebut
1
.
Ø Bilangan real yang bukan bilangan
rasional, yakni tidak dapat dinyatakan menjadi perbandingan dua bilangan bulat
disebut bilangan irasional. Beberapa contoh dari bilangan
irasional adalah 2–√,3–√4,Ï€,
dan e
.
Bilangan
real dengan desimal berhingga sudah pasti rasional. Tapi bagaimana dengan
bilangan dengan desimal yang tidak berhingga? Kita punya ciri untuk
membedakannya.
Bilangan
rasional memiliki desimal yang berulang, sementara bilangan irasional memiliki
desimal yang tidak berulang. Contohnya 0.333…
merupakan
bilangan rasional karena 0.333⋯=13
Contoh
Tunjukkan
bahwa 0.123123123…
adalah
bilangan rasional.
Kita lakukan
ini dengan 2 cara.
Cara I
Pertama
misalkan
x=0.123123123…
x=0.123123123…
Maka 1000x=123,123123…
Dengan mengurangkan diperoleh
1000xx=123.123123…=0.123123123…
999xx=123=123999=41333
ini
menunjukkan bahwa x adalah bilangan rasional.
Cara II
Tulis x=0.123123123… sebagai
x=0.123+0.000123+…
atau
x=1231000+12310002+12310003+…
Perhatikan
bahwa ini membentuk deret geometri tak hingga dengan rasio 11000 dan suku
pertama 1231000. Sehingga jumlahnya,
x=12310001−11000=123999=41333
diperoleh
hasil yang sama, yakni x adalah bilangan rasional.
Q.E.D.
Bilangan Real
Himpunan bilangan
real adalah gabungan antara himpunan bilangan rasional dan bilangan
irasional.Himpunan ini dinotasikan dengan R. Bilangan real dapat dituliskan ke
dalam garis bilangan yang disebut dengan real line. Pada garis bilangan a berada di
kiri b berarti bahwa a<b atau b>a
Sifat-Sifat Medan
Himpunan
bilangan real memiliki sifat-sifat medan yaitu untuk bilangan real x,y, dan z berlaku
- Komutatif. x+y=y+x
dan xy=yx
· .
· Asosiatif. x+(y+z)=(x+y)+z
· · Distributif. x(y+z)=xy+xz dan (x+y)z=xz+yz
· · Identitas. Terdapat unsur
identitas yakni 1 dan 0 sedemikian hingga x+0=0+x=x (Identitas Penjumlahan) dan 1.x=x.1=x
· (Identitas
Perkalian).
· Invers
Penjumlahan. Untuk setiap bilangan real x terdapat bilangan real y sedemikian
sehingga x+y=y+x=0
· · Invers Perkalian. Untuk
setiap bilangan real x tak 0 terdapat bilangan real y yang memenuhi xy=yx=1
Sifat-Sifat Urutan
Pada
bilangan real terdapat beberapa sifat urutan, yakni untuk bilangan real x,y, dan z berlaku
- Trikotomi. Salah satu dari kemungkinan berikut ini pasti terpenuhi
x<y, x=y, x>y
· · Ketransitifan. Jika x<y dan y<z maka x<z
· .
· Penambahan.
x<y⟺x+z<y+z
· .
· Perkalian. Jika z positif, x<y⟺xz<yz dan jika z negatif x<y⟺yz<xz.
Pengertian Himpunan
Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang dapat didefinisikan dengan jelas. Benda atau objek dalam himpunan disebut elemen atau anggota himpunan. Dari defi nisi tersebut, dapat diketahui objek yang termasuk anggota himpunan atau bukan.
Contoh himpunan:
• Himpunan warna lampu lalu lintas, anggota himpunannya adalah merah, kuning, dan hijau.
• Himpunan bilangan prima kurang dari 10, anggota himpunannya adalah 2, 3, 5, dan 7.
Contoh bukan himpunan:
• Kumpulan baju-baju bagus.
• Kumpulan makanan enak.
. Jenis-Jenis
Himpunan
- Himpunan Kosong
Himpunan kosong (empty set) adalah himpunan yang tidak
mempunyai anggota, yang dilambangkan dengan atau {}.
- Himpunan Universal (Semesta)
Himpunan universal (universal set) adalah himpunan
yang mempunyai semua elemen di dalam semesta pembicaraan. Himpunan universal
dilambangkan dengan U adalah himpunan yang memenuhi
Penyajian
Himpunan
Terdapat
banyak cara dalam menyajikan himpunan. Namun, Pada dasarnya terdapat dua cara
penyajian himpunan yaitu :
− mendaftar
semua anggotanya
−
menyebutkan sifat keanggotaannya
- Mendaftar Semua Anggota-anggotanya
Dengan cara ini, anggota-anggota himpunan ditulis dalam kurung
kurawal dan dipisahkan dengan tanda koma. Pada penulisan himpunan dengan cara
mendaftar anggota-anggotanya, jika semua anggota dapat ditulis maka urutan
penulisan boleh diabaikan. Jika suatu himpunan mempunyai anggota sangat banyak
dan memiliki pola tertentu maka penulisannya dapat dilakukan dengan menggunakan
tiga buah titik yang dibaca "dan seterusnya".
Contoh:
A =
{bilangan asli}, maka dapat dituliskan sebagai:
A = {1, 2,
3, 4, . . .}.
Akan tetapi
jika himpunan itu anggotanya terbatas maka kita menulisnya dengan cara:
P =
{bilangan cacah ganjil kurang dari 100}, maka:
P = {1, 3,
5, 7, 9, . . . , 99}.
Adapun cara lain seperti enumerasi atau tabulasi elemen-elemennya,
Menggunakan simbol-simbol baku, Notasi pembentuk Himpunan,dan Diagram Venn yang
sudah di jelaskan pada minggu lalu. Kali ini kita akan membahas penyajian
himpunan dalam bentuk Deskriptif dan dengan menggunakan diagram seperti :
diagram garis dan diagram cartess.
1.
Deskriptif
Yaitu
menyatakan himpunan dengan menuliskan ciri-ciri umum atau sifat-sifat umum dari
anggotanya. Contoh :
D = { x │ x
adalah himpunan bilangan bulat }
E = { x │x
adalah himpunan bilangan cacah }
F = { x │x
adalah himpunan bilangan cacah }
2.Diagram
Garis
Diagram garis biasanya digunakan untuk memperlihatkan hubungan
antar himpunan dimana himpunan yang satu merupakan himpunan bagian dari
himpunan yang lain. Jika A himpunan bagian dari C dan B himpunan bagian dari C,
maka ditulis dalam diagram garis sebagai berikut.
3.Diagram
Cartess
Untuk menggambarkan suatu himpunan bilangan, Rene Descartes
menggambarkannya dalam suatu garis bilangan. Garis bilangan ini disebut garis
bilangan Cartess.
Misalnya
:
Jika A = {x
: 0 x < 3}, maka digambarkan dalam garis bilangan Sebagai berikut.
Hukum himpunan
- Hukum komutatif
- p ∩ q ≡ q ∩ p
- p ∪ q ≡ q ∪ p
- Hukum asosiatif
- (p ∩ q) ∩ r ≡ p ∩ (q ∩ r)
- (p ∪ q) ∪ r ≡ p ∪ (q ∪ r)
- Hukum distributif
- p ∩ (q ∪ r) ≡ (p ∩ q) ∪ (p ∩ r)
- p ∪ (q ∩ r) ≡ (p ∪ q) ∩ (p ∪ r)
- Hukum identitas
- p ∩ S ≡ p
- p ∪ ∅ ≡ p
- Hukum ikatan
- p ∩ ∅ ≡ ∅
- p ∪ S ≡ S
- Hukum negasi
- p ∩ p' ≡ ∅
- p ∪ p' ≡ S
- Hukum negasi ganda
- (p')' ≡ p
- Hukum idempotent
- p ∩ p ≡ p
- p ∪ p ≡ p
- Hukum De Morgan
- (p ∩ q)' ≡ p' ∪ q'
- (p ∪ q)' ≡ p' ∩ q'
- Hukum penyerapan
- p ∩ (p ∪ q) ≡ p
- p ∪ (p ∩ q) ≡ p
- Negasi S dan ∅
- S' ≡ ∅
- ∅' ≡ S
Komentar
Posting Komentar